Benvenuti nella seconda puntata di “Magic e la matematica”, in cui cercheremo, come nel primo episodio episodio, di applicare qualche semplice concetto matematico al nostro gioco preferito. In questo modo, quando saremo criticati per le ingenti somme di denaro che spendiamo in questa direzione, potremo difenderci millantando solide basi intellettual-matematico-probabilistiche e uscirne facendoci un figurone… O forse no.

Il calcolo combinatorio

Magic è un gioco di carte.

Ben sappiamo che nei giochi di carte c’è una base di calcolo delle probabilità che può essere applicata, almeno ai casi più semplici, per fornirci analiticamente risposte a domande quali “Che probabilità ho di pescare rimozione al prossimo turno?”, o, per i pokeristi, “Su un board T97r, che probabilità ho di chiudere la mia gutshot straight con 56s e quali sono le mie pot odds?” La risposta esiste ed è univoca, e la matematica ci aiuta a trovarla!

Cominciamo con l’illustrare lo strumento fondamentale per il conteggio dei casi favorevoli e totali nei nostri problemi: il coefficiente binomiale.

Confidando che nessuno dei lettori sia svenuto, in quanto conto di aver filtrato i più avulsi alla matematica già al secondo rigo dell’articolo, diciamo che il coefficiente binomiale è, in parole povere, un potente strumento che ci consente di contare quanti modi ho di raggruppare n elementi in insiemi di k.

L’avrete probabilmente già incontrato nei problemi classici del calcolo combinatorio, ovvero “da un’urna in cui ci sono 2 palline nere, 5 bianche e 6 rosse, quante probabilità ho di estrarre una pallina di ogni colore con 3 estrazioni?”

Nel caso di Magic, l’applicazione è immediata: posso contare quanti modi ho, ad esempio, di pescare la mano di apertura, e successivamente rapportarli con il numero di mani che non contengono terre per scoprire quali sono le probabilità di pescare una mano senza terre!

Sono sicuro che lo sappiate tutti, ma l’espressione n! indica il cosiddetto fattoriale, ovvero il prodotto di tutti gli interi fra n e 1: quindi

5! = 5·4·3·2·1=120

Notiamo che il fattoriale è una funzione che “esplode” in fretta: 60!, che per inciso rappresenta il numero di modi in cui posso ordinare le mie sessanta carte, è la bellezza di 8,3209871·10⁸¹, 81 zeri, un numero da cui è bene essere spaventati, considerando che l’universo è nato circa 5,2216·10¹⁸ secondi fa.

Per fortuna, però, il coefficiente binomiale prevede un fattoriale anche al denominatore (anzi due), quindi speriamo che numeratore e denominatore si “bilancino” un po’ e che possa ottenere numeri quantomeno concepibili.

Venendo al nostro caso, definiamo N_D=60 come numero di carte nel mazzo (deck), N_L=24 come numero di terre (lands) e N_OH=7 il numero di carte nella nostra mano di apertura (opening hand).

Un concetto elementare della probabilità è che la probabilità che un evento si verifichi può essere definita come il numero dei casi favorevoli fratto il numero di casi totali. Quindi, con il d20, ho una possibilità su venti di ottenere uno specifico valore, pari a (ma scommetto lo sapevate già tutti). Tornando a noi, come definire la probabilità di avere una no-lander?

I casi totali sono i più semplici da contare: basta applicare la definizione di coefficiente binomiale per scoprire che i modi diversi in cui posso pescare 7 carte da un mazzo di 60 sono . Il numeratore, invece, si computa pensando che il numero di mani senza terre è essenzialmente il numero di modi in cui posso raggruppare le carte non terra in gruppi da 7. Niente di complicato, quindi: è sempre il coefficiente binomiale, ma questa volta

Possiamo allora trovare la risposta alla nostra domanda e tirare fuori la probabilità di bestemmia, corrispondente alla mano senza terre e al conseguente mulligan. Non dobbiamo spaventarci eccessivamente per le moltiplicazioni da fare: il bello fra i rapporti di fattoriali è che il fattoriale al denominatore “cancella” parte del fattoriale al numeratore, lasciandone solo la parte che lo “eccede”. Quindi

Con 24 terre su 60 carte, abbiamo il 2% di probabilità di non pescare neanche una terra. Bene, è un bel punto di partenza, ma con questo strumento possiamo rispondere a veramente tante domande: ad esempio, cerchiamo la probabilità di avere una mano “intenibile” (con 0, 1, 6 o 7 terre).

Per arrivare a tale risultato, dobbiamo generalizzare il nostro computo dei casi favorevoli: come posso ottenere le probabilità di avere esattamente n terre?

Molto semplice: devo scomporre la mano iniziale in n terre e 7-n non-terre, e contare i modi che ho per ottenere ciascun raggruppamento.

Può essere poco chiaro guardandolo, ma è in realtà intuitivo: conteggio separatamente i modi che ho per ottenere la parte “terre” e quella “non terre”, e il prodotto mi darà il conteggio totale (prodotto, non somma, perché ogni combinazione di un tipo può essere “combinata” con tutte quelle dell’altro tipo. Se non è chiaro approfondiremo nei commenti!)

Tornando al mulligan: ricordando che, per eventi indipendenti, la probabilità dell’unione degli eventi è pari alla somma delle probabilità, e facendo qualche conto, troviamo

Questo numero credo si possa ritenere in linea con l’esperienza di ciascun giocatore: circa tre volte su venti ci troviamo a dover buttare via una mano per questioni di mana.

Lascio al lettore il compito di ripetere l’esercizio con la mano da 6 carte, dopo il mulligan: senza dubbio troveremmo una probabilità ben più alta di schifezze.

Falsi miti

Ora, vorrei sfatare un “mito” che mi è balzato all’occhio nel leggere una vignetta di un webcomic che amo (e anche voi dovreste), cardboard-crack.com, che è in realtà il motivo per cui ho deciso di immolare questa mattinata alla matematica divulgativa e tirar su un articolo.

Dalla vignetta sembrerebbe che il motivo per cui è svantaggioso avere un deck enorme sia la maggiore possibilità di mana screw. Ma è davvero così? Verifichiamo. Per un mazzo da 150 carte e 60 terre (2/5 lands), la probabilità di pescare terra è

 

Ci stupisce? Di certo no: sulla singola pescata, la probabilità di pescare terra è uguale alla percentuale di terre, e non è influenzata dal numero. Potrebbe forse cambiare qualcosa per pescate ripetute, ad esempio nella mano iniziale? Difficile, ma verifichiamo lo stesso: con 150 carte e 60 terre, qual è la probabilità di una no-lander? Omettendo lo svolgimento dei prodotti e le semplificazioni,

Il valore è esattamente lo stesso: il numero di carte nel mazzo non influenza affatto il flooding o lo screw, purchè le proporzioni siano identiche. Il motivo per cui cerchiamo di giocare con il numero minimo di carte, invece, è un altro: non vogliamo “diluire” le nostre spell. Aumentando il numero di carte totali, riduciamo le chance di vedere una particolare carta, perché siamo limitati dal 4x di ciascuna. Ma se abolissimo questo limite, e giocassimo con un massimo di 8x e un mazzo da 120 carte, non cambierebbe assolutamente nulla… A parte i crampi alle mani, ovviamente.

Per oggi credo di aver messo abbastanza carne al fuoco (e di aver bestemmiato abbastanza per scrivere queste equazioni). Vi lascio con un grafico (che mondo sarebbe senza un grafico?) che mostra quanto le probabilità di mulligan varino con il numero di terre.

Notiamo che è una parabola, con asse verticale x=30: è il punto in cui spell = lands, e la situazione è ovviamente simmetrica al superamento di tale soglia. Notiamo anche che se volessimo minimizzare le probabilità di mulligan dovuto al mana dovremmo giocare proprio con 30 terre: il problema, però, sarebbe ovviamente il mid-late game, dove verremmo subissati di lande data la scarsa densità di spell. Alla prossima puntata!